Pare che la geometria sia stata studiata già dagli antichi Egizi, perché erano grandi costruttori di piramidi e di muri per difendersi dalle piene del Nilo e perché, quando le acque di questo si ritiravano, antichi geometri dovevano ripristinare spesso i confini.

 

Come abbiamo costruito l'angolo retto

Il papiro di Rind è un antico documento che testimonia la bravura degli Egizi.

I popoli della mesopotania sapevano già calcolare le aree dei rettangoli, dei quadrati, dei triangoli e dei trapezi.

I popoli della Mesopotania sapevano già calcolare le aree dei rettangoli, dei quadrati, dei triangoli e dei trapezi.

In Grecia Autolico di Pitane scrisse forse il primo libro di geometria dal titolo "Della sfera della natura".

Un passo importante nello studio della geometria venne compiuto da Talete, il quale, applicando le proporzioni tra rapporti scoperte da Eudosso di Cnido, riuscì a misurare la piramide di Cheope senza salirci sopra! Fece così: prese il suo bastone e lo piantò a terra; quando la sua ombra fu uguale all'altezza, mandò qualcuno a misurare l'ombra della piramide, tenendo conto anche della sua larghezza. Ottenne così l'altezza della piramide, che era di 147 metri!

Quando in geometria iniziamo a parlare anche di tempo e di velocità allora parliamo di meccanica, una parte della fisica che studia il movimento degli oggetti. Un problema con questi elementi non è più allora un problema di geometria ma un problema di fisica. Facciamo un esempio.

Da Castiglione a Roma ci sono 600 Km. Per arrivarci ci impieghiamo 5 ore. A che velocità media siamo andati?

Velocità = Spazio : Tempo

= 600 : 5 = 120
Ecco abbiamo fatto una divisione. Ma le divisioni di spazi a volte creano cose assurde.

Nell'antichità Zenone di Elea si occupò proprio di queste assurdità. Egli rilevò che nel nostro modo di pensare, cioè nella nostra logica, c'era qualcosa di strano, o, meglio, di paradossale. Famosissimi sono i suoi paradossi, come quello della gara di corsa tra Achille e la Tartaruga. Il base all'evidenza dei fatti, in questa gara ipotetica dovrebbe vincere Achille; ma in il nostro "ragionamento" ci dice che si può sempre percorrere la metà di uno spazio, perciò Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga!

Solo in tempi moderni questo paradosso ha avuto una una spiegazione. Secondo la meccanica quantistica, una nuova parte della fisica, nel mondo esistono dei quanti, cioè delle quantità minime che è impossibile dividere.

Esistono altri paradossi, alcuni inventati da artisti e illusionisti. Per tutti c'è sempre una spiegazione, come ad esempio per il triangolo di Curry. Se su un foglio quadrettato disegniamo un certo triangolo, poi lo suddividiamo e ricostruiamo diversamente, un pezzetto alla fine scompare! Intuirete il motivo in questa animazione.

Molti hanno inventato anche diversi rompicapo e uno lo conosciamo anche noi. Non sappiamo se quanto vi stiamo per proporre è contenuto in qualche libro. Siamo comunque a conoscenza del fatto che è possibile scomporre un quadrato in triangoli aventi tutti gli angoli acuti. Provate. A prima vista sembra facile, ma in realtà si tratta di uno dei rompicapi più difficili che ci sia mai capitato.

I triangoli devono essere simili a quelli qui sotto e non devono avere angoli pari o superiori a 90°.




Provate su un foglio di carta. Se ci riuscite comunicatecelo (vsal@libero.it).
Se siete curiosi e testardi prima o poi vi daremo la soluzione.

Verso il 300 a.C. il grande Euclide scrisse Gli elementi, ben 13 libri in cui egli precisò prima di tutto quali erano le principali idee della geometria: punti, linee,angoli, ecc. passò poi allo studio dei teoremi, cioè di frasi sulle proprietà delle figure geometriche, dimostrate in maniera logica. Il più famoso di questi teoremi è quello di Pitagora, altro grande studioso che dice più o meno così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati più corti.

Nella figura successiva, infatti,

Q1=Q2+Q3

Cioè:

25=16+9.



Illustrazione del Teorema di Pitagora

Sempre in Grecia Platone scoprì cinque poliedri regolari, chiamati oggi poliedri platonici.

Un passo importantissimo nello studio della geometria venne fatto da Archimede, il quale, forse per primo, stabilì le regole per calcolare le aree e i volumi delle figure. Egli riuscì anche a calcolare con precisione il rapporto che c'è tra il diametro e la circonferenza del cerchio (3,14 ), che serve per calcolare le misure di quest'altra figura.

Archimede scoprì anche 13 poliedri semiregolari, chiamati quindi poliedri archimedei. Una attenzione particolare va data all'icosaedro troncato, composto da 12 pentagoni e 20 esagoni, grazie al quale è stato possibile costruire in maniera precisa i palloni di calcio!

Altri grandi studiosi furono Apollonio da Pergamo, che scoprì nuove leggi ed Erone di Alessandria, il quale dimostrò un metodo nuovo per calcolare l'area del triangolo.

Una grandissima impresa venne compiuta anche da Eratostene, inventore anche della geografia. Egli divenne famoso per aver dimostrato la sfericità della terra ed averne calcolato la circonferenza.

Abitava ad Alessandria d'Egitto e sapeva due cose: la prima era che la città di Siene, l'odierna Assuan, distava dalla sua 800 Km; la seconda era che, a mezzogiorno del solstizio d'estate, a Siene non si vedevano le ombre, mentre ad Alessandria avevano una inclinazione di 7,2°, corrispondenti a 1/50 di un angolo giro. Egli allora moltiplicò 800x50 e ottenne che il giro del mondo era di 40.000 Km! Senza avere nessuno strumento sbagliò veramente di poco e suppose che la terra fosse rotonda. Cosa che venne realmente verificata da Ferdinando Magellano 1700 anni dopo, quando per la prima volta compì il giro del mondo con una nave.

Ci furono molti altri studiosi che fecero altri piccoli passi, ma un passo decisivo venne fatto nel 1600. Grazie agli studi di Nicola d'Oresme, René Descartes, meglio conosciuto col nome di Cartesio, introdusse i grafici e la geometria analitica, che ha il vantaggio di trasformare le figure geometriche in equazioni.

Una importante novità venne introdotta da Nikolai Ivanoic Lobacevskij, con la geometria degli spazi curvi, in cui le rette non esistono più.

Ma che forma ha una montagna? E le nuvole? È un albero? E un fiore? Hanno forme frattali, cioè frantumate, che seguono regole solo apparentemente disordinate ma che sono invece le regole della natura.

Il primo ad occuparsi di queste forme che a noi sembrano irregolari fu Karl Weierstrass, nel 1875, il quale iniziò a studiare una curva che si incurva sempre di più. Ce ne furono anche altri. Negli anni '20 Gaston Julia ne propose alcuni.  Ma egli non era in grado di compiere tutti i calcoli necessari per comprenderlo in pieno. Aveva bisogno di un computer. I suoi lavori vennero perciò dimenticati fino a quando, negli anni '70, Benoît Mandelbrot li tirò fuori e con il computer creò dei nuovi oggetti, molto più complessi, e annunciò a tutti che erano le forme della natura!

In questi oggetti ci sono forme che si ripetono a scale sempre più piccole. Sono forme, come si suol dire, autosomiglianti. E, cosa incredibile, sono di dimensioni immense!